Mécanique des milieux continus

Le cours au fil du texte, chapitre par chapitre, avec ses calculateurs. Chaque chapitre commence par « En clair » (les mots), déplie « Pourquoi c'est vrai » (les démonstrations courtes) et se termine par un exemple guidé, les erreurs fréquentes et ce qu'il faut savoir faire. Les bancs du laboratoire font voir, l'exerciseur fait faire, les questions répondent à ce que le cours suppose évident.

Avant de commencer

La MMC décrit un solide (ou un sol, ou un fluide) comme une matière continue, sans grains ni atomes, dans laquelle on peut définir en chaque point une déformation et une contrainte. Ces deux grandeurs ne sont pas des nombres mais des tenseurs symétriques 3×3 : six composantes, trois valeurs principales, trois directions principales. Tout le cours tourne autour de ces deux objets et de la loi qui les relie.

0 · Boîte à outils mathématiques

Tout ce qu'il faut de mathématiques pour lire ce cours tient en une page. Le reste s'apprend en l'utilisant.

Vecteurs

Un vecteur \(\vec a=(a_x,a_y,a_z)\) a une norme \(|\vec a|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\). Le produit scalaire \(\vec a\cdot\vec b = a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z = |\vec a||\vec b|\cos\alpha\) mesure la projection de l'un sur l'autre : nul si perpendiculaires. Un vecteur unitaire a une norme 1 ; la normale \(\vec n\) d'une facette en est un, et \(\vec a\cdot\vec n\) est la composante de \(\vec a\) selon \(\vec n\). Dans le plan, la normale inclinée de \(\theta\) sur \(x\) s'écrit \(\vec n=(\cos\theta,\sin\theta)\).

Matrices et tenseurs

Un tenseur d'ordre 2 est, dans un repère donné, une matrice 3×3 ; il agit sur un vecteur par le produit matrice-vecteur : \((\boldsymbol\sigma\cdot\vec n)_i=\sum_j\sigma_{ij}n_j\). Ce qui en fait un tenseur et non une simple matrice, c'est la façon dont ses composantes changent quand on tourne le repère : si \(\mathbf R\) est la matrice de rotation, \(\boldsymbol\sigma' = \mathbf R\,\boldsymbol\sigma\,\mathbf R^{\mathsf T}\). Le cercle de Mohr (ch. 3) est cette formule dessinée. Trois notions à connaître :

• trace \(\mathrm{tr}\,\boldsymbol\sigma=\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz}\) et déterminant : ils ne changent pas avec le repère (invariants) ;
• matrice symétrique (\(\sigma_{ij}=\sigma_{ji}\)) : ses valeurs propres sont réelles et ses vecteurs propres perpendiculaires — c'est ce qui garantit l'existence des directions principales ;
• valeurs propres \(\lambda\) et vecteurs propres \(\vec v\) : \(\boldsymbol\sigma\cdot\vec v=\lambda\vec v\), soit \(\det(\boldsymbol\sigma-\lambda\mathbf I)=0\). En 2D c'est une équation du second degré ; en 3D, du troisième — le calculateur du chapitre 3 la résout.

Notation indicielle

Les indices \(i,j\) valent \(1,2,3\) (ou \(x,y,z\)). Un indice répété dans un produit signifie une somme (convention d'Einstein) : \(\sigma_{ii}=\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}\), \(T_i=\sigma_{ij}n_j = \sum_j\sigma_{ij}n_j\). Le symbole de Kronecker \(\delta_{ij}\) vaut 1 si \(i=j\), 0 sinon : c'est la matrice identité \(\mathbf I\). La dérivée partielle s'abrège d'une virgule : \(u_{i,j}=\partial u_i/\partial x_j\). Avec cela, les équations du cours tiennent en une ligne chacune : \(\varepsilon_{ij}=\tfrac12(u_{i,j}+u_{j,i})\), \(\sigma_{ij,j}+f_i=0\), \(\sigma_{ij}=\lambda\varepsilon_{kk}\delta_{ij}+2\mu\varepsilon_{ij}\).

Dérivées partielles, gradient, divergence

Un champ \(f(x,y,z)\) a trois dérivées partielles ; le gradient \(\nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z)\) pointe vers la plus forte croissance. Le gradient d'un vecteur \(\vec u\) est la matrice des \(\partial u_i/\partial x_j\) (ch. 2). La divergence d'un vecteur est \(\mathrm{div}\,\vec u=\partial u_x/\partial x+\partial u_y/\partial y+\partial u_z/\partial z\) — la variation relative de volume ; celle d'un tenseur est le vecteur \((\mathrm{div}\,\boldsymbol\sigma)_i=\sum_j\partial\sigma_{ij}/\partial x_j\) (ch. 3). Le laplacien \(\Delta f=\partial^2f/\partial x^2+\partial^2f/\partial y^2+\partial^2f/\partial z^2\) apparaît dans Navier (ch. 5).

1 · Le milieu continu

Une matière sans grains

Un béton est fait de granulats, d'une pâte et de vides ; un sol, de grains et d'eau ; un acier, de cristaux. La MMC fait abstraction de cette structure : elle regarde la matière à une échelle où un petit volume contient assez de grains pour que ses propriétés moyennes soient stables. Ce volume est le volume élémentaire représentatif (VER). Au-dessus de lui, la matière se comporte comme un continu ; en dessous, la notion de contrainte perd son sens.

D'où une règle de lecture : une éprouvette de béton de 16 cm, une plaque de 60 cm sur une grave, un sondage dans un massif fracturé mesurent des propriétés continues seulement si leur dimension dépasse le VER.

Particule, configuration, champs

Le solide occupe une configuration initiale \(\Omega_0\) (non chargée) et une configuration actuelle \(\Omega\) (chargée). La « particule » est le point matériel qui passe de la position \(\vec X\) à la position \(\vec x\). Le déplacement est la différence :

Décrire le mouvement en suivant chaque particule depuis \(\vec X\) est la description lagrangienne ; décrire ce qui se passe en un point fixe \(\vec x\) de l'espace est la description eulérienne. Pour les solides du génie civil, on suit la matière : tout ce cours est lagrangien. L'hydraulique, elle, est eulérienne — on regarde le débit qui traverse une section fixe.

Déplacement, déformation, contrainte, température sont des champs : une valeur par point. Un champ scalaire (température), vectoriel (déplacement) ou tensoriel (déformation, contrainte).

2 · Déformations

Du déplacement à la déformation

Un déplacement uniforme (translation) ou une rotation d'ensemble ne déforment pas le solide. Ce qui le déforme, c'est que les déplacements varient d'un point à l'autre : la déformation est contenue dans le gradient du déplacement, la matrice des \(\partial u_i/\partial x_j\). Ce gradient se partage en une partie symétrique, la déformation, et une partie antisymétrique, la rotation :

En deux dimensions, le tenseur des déformations s'écrit avec trois composantes dont le sens physique est immédiat :

• \(\varepsilon_{xx}\) : allongement relatif d'un segment porté par \(x\) — \(\Delta L/L\). Positif en traction.
• \(\gamma_{xy}=2\varepsilon_{xy}\) : distorsion, la diminution de l'angle droit entre deux segments portés par \(x\) et \(y\) (en radians). C'est le \(\gamma\) des ingénieurs ; le tenseur, lui, contient sa moitié.
• \(\theta = \varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz} = \mathrm{tr}\,\boldsymbol\varepsilon\) : dilatation volumique, \(\Delta V/V\).

Déformations principales

En tout point, il existe trois directions perpendiculaires le long desquelles le solide s'allonge ou se raccourcit sans distorsion : les directions principales. Les allongements correspondants sont les déformations principales \(\varepsilon_1 \ge \varepsilon_2 \ge \varepsilon_3\), valeurs propres du tenseur. En 2D :

La distorsion maximale vaut \(\gamma_{max} = \varepsilon_1-\varepsilon_3\), sur les facettes à 45° des directions principales. Cette structure — valeurs propres, directions à 45°, cercle de Mohr — est exactement celle des contraintes : on la détaillera au chapitre 3 et elle vaut pour les deux tenseurs.

Mesurer une déformation : la rosette

Une jauge mesure l'allongement relatif dans sa direction : \(\varepsilon(\alpha)=\varepsilon_{xx}\cos^2\alpha+\varepsilon_{yy}\sin^2\alpha+\gamma_{xy}\sin\alpha\cos\alpha\). Trois jauges à 0°, 45°, 90° (rosette rectangulaire) donnent les trois composantes :

Déformation thermique

Une variation de température \(\Delta T\) dilate la matière dans toutes les directions sans la distordre : c'est une déformation sphérique, \(\boldsymbol\varepsilon_{th}=\alpha\,\Delta T\,\mathbf I\), avec \(\alpha\) le coefficient de dilatation. Elle ne crée aucune contrainte tant que rien ne l'empêche ; c'est le blocage qui crée la contrainte (ch. 4).

Acier et béton ont presque le même \(\alpha\) : c'est ce qui rend le béton armé possible. Un pont de 100 m varie de 3 à 4 cm entre hiver et été, d'où les joints de dilatation ; une dalle de béton bloquée fissure tous les 4 à 6 m, d'où les joints de retrait.

Compatibilité

Trois déplacements donnent six déformations : on ne peut pas choisir les six librement, il faut qu'elles dérivent d'un champ \(\vec u\) continu. En 2D, cela s'écrit en une équation :

Un champ de déformation uniforme ou linéaire la vérifie toujours. Elle importe quand on part des déformations (mesures, photogrammétrie) pour remonter aux déplacements.

3 · Contraintes

Le vecteur contrainte

Coupons le solide par une facette d'aire \(dS\) et de normale unitaire \(\vec n\). La matière située du côté de \(\vec n\) exerce sur l'autre côté une force \(d\vec F\). Le vecteur contrainte est la force par unité d'aire :

Sa composante normale \(\sigma_n\) est la contrainte normale (traction si positive, compression si négative — convention de la mécanique ; la géotechnique prend l'inverse). Sa composante dans le plan de la facette est la contrainte tangentielle ou de cisaillement \(\tau\).

Le tenseur des contraintes

Le vecteur contrainte dépend de la facette. Cauchy a montré qu'il dépend d'elle linéairement : connaître \(\vec T\) sur les trois facettes perpendiculaires aux axes suffit à le connaître sur toute facette. Les neuf composantes rangées en matrice forment le tenseur des contraintes :

L'équilibre des moments d'un petit cube impose \(\sigma_{ij}=\sigma_{ji}\) : le tenseur est symétrique, six composantes indépendantes. Sur la facette de normale \(\vec n\) :

Équations d'équilibre

Écrivons l'équilibre des forces sur un petit cube soumis à la contrainte sur ses faces et à une force volumique \(\vec f\) (le poids, \(\rho\vec g\)). Les contraintes varient d'une face à la face opposée ; leur bilan donne, en chaque point :

Sur la surface du solide, le vecteur contrainte doit égaler la force surfacique appliquée : \(\boldsymbol\sigma\cdot\vec n = \vec F_s\) (nul sur une surface libre). Ce sont les conditions aux limites en contraintes.

Contraintes principales et invariants

Comme pour les déformations, il existe trois facettes perpendiculaires sur lesquelles le vecteur contrainte est purement normal (\(\tau=0\)). Ce sont les facettes principales ; les contraintes qu'elles portent sont les contraintes principales \(\sigma_1\ge\sigma_2\ge\sigma_3\), solutions de \(\det(\boldsymbol\sigma-\lambda\mathbf I)=0\) :

Les invariants \(I_1, I_2, I_3\) ne changent pas quand on tourne les axes : ils caractérisent l'état de contrainte indépendamment du repère. Deux autres grandeurs invariantes servent partout, surtout dans les sols :

\(p\) change le volume ; le déviateur \(\mathbf s\) change la forme. La contrainte tangentielle maximale vaut \(\tau_{max}=(\sigma_1-\sigma_3)/2\), sur les facettes à 45° des directions 1 et 3.

Le cercle de Mohr

En état plan (\(\sigma_{xz}=\sigma_{yz}=0\)), tournons la facette d'un angle \(\theta\) autour de \(z\). Les composantes sur la facette tournée s'écrivent :

Dans le plan \((\sigma_n,\tau)\), le point \((\sigma_n,\tau)\) décrit un cercle de centre \(C=(\sigma_{xx}+\sigma_{yy})/2\) et de rayon \(R=\sqrt{\left(\tfrac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\right)^2+\sigma_{xy}^2}\) : tourner la facette de \(\theta\) fait tourner le point de \(2\theta\) sur le cercle. Les intersections avec l'axe \(\sigma_n\) sont \(\sigma_1=C+R\) et \(\sigma_2=C-R\) ; le sommet donne \(\tau_{max}=R\).

En 3D, les trois cercles construits sur \((\sigma_1,\sigma_2)\), \((\sigma_2,\sigma_3)\) et \((\sigma_1,\sigma_3)\) bornent la zone des états \((\sigma_n,\tau)\) possibles : le grand cercle donne \(\tau_{max}\).

4 · Loi de comportement : élasticité linéaire

Deux constantes mesurées sur une éprouvette

Les chapitres 2 et 3 sont de la géométrie et de la statique : ils valent pour tout matériau. Ce qui distingue l'acier du caoutchouc ou de l'argile, c'est la relation entre \(\boldsymbol\sigma\) et \(\boldsymbol\varepsilon\) : la loi de comportement. La plus simple, et la plus utilisée, est l'élasticité linéaire isotrope, identifiée par un essai de traction :

Une traction selon \(x\) allonge selon \(x\) et rétrécit selon \(y\) et \(z\). \(\nu=0{,}5\) correspondrait à un matériau incompressible (caoutchouc, argile saturée à court terme) ; \(\nu\to 0\) à un matériau qui ne se contracte pas latéralement (liège).

La loi de Hooke généralisée

Dans un état de contrainte quelconque, chaque contrainte normale produit son allongement et ses deux contractions de Poisson ; chaque cisaillement produit sa distorsion. Par superposition :

Composante par composante : \(\varepsilon_{xx}=\frac1E[\sigma_{xx}-\nu(\sigma_{yy}+\sigma_{zz})]\) et \(\gamma_{xy}=\sigma_{xy}/G\). Lire la formule« \(\varepsilon_{xx}\) vaut : ce que \(\sigma_{xx}\) étire selon \(x\) (\(\sigma_{xx}/E\)), moins ce que \(\sigma_{yy}\) rétrécit selon \(x\) par effet Poisson (\(\nu\sigma_{yy}/E\)), moins ce que \(\sigma_{zz}\) rétrécit de la même façon. » Trois causes, trois termes, et c'est tout. Le cisaillement vit à part : \(\sigma_{xy}\) ne produit que \(\gamma_{xy}\), et le diviseur est \(G\), pas \(E\).

Les coefficients de Lamé \(\lambda,\mu\), le module de cisaillement \(G\) et le module de compressibilité \(K\) sont d'autres façons d'écrire les mêmes deux constantes :

Contraintes planes, déformations planes

Deux simplifications couvrent la majorité des calculs plans du génie civil :

Thermoélasticité : la contrainte naît du blocage

La déformation totale est la somme de la part élastique (due aux contraintes) et de la part thermique (libre) :

Barre libre : \(\varepsilon=\alpha\Delta T\), \(\sigma=0\). Barre bloquée aux deux bouts : \(\varepsilon=0\), donc \(\sigma=-E\alpha\Delta T\) — un rail ou un tirant chauffé de 30 °C se comprime de \(210\,000\times12\cdot10^{-6}\times30 = 76\) MPa, quelle que soit sa longueur. Dalle bloquée dans son plan (deux directions) : \(\sigma=-E\alpha\Delta T/(1-\nu)\). Un refroidissement met en traction : c'est ainsi que le retrait et le gradient thermique fissurent le béton.

Énergie de déformation

Le travail des contraintes se stocke dans le solide élastique. Par unité de volume :

C'est la base des méthodes énergétiques de la RDM (Clapeyron, Castigliano, éléments finis).

5 · Le problème d'élasticité et ses solutions classiques

Quinze équations pour quinze inconnues

En chaque point, on cherche 3 déplacements, 6 déformations et 6 contraintes. On dispose de 6 relations déformation-déplacement (ch. 2), 3 équations d'équilibre (ch. 3) et 6 relations de Hooke (ch. 4), avec, sur la frontière, des déplacements imposés (appuis) ou des forces imposées (charges). En éliminant \(\boldsymbol\varepsilon\) et \(\boldsymbol\sigma\), tout se ramène à trois équations sur \(\vec u\), les équations de Navier :

Trois propriétés rendent le problème maniable :

• Unicité : la solution existe et est unique (Kirchhoff). Si l'on trouve un champ qui vérifie tout, c'est la solution — méthode semi-inverse.
• Superposition : le problème est linéaire ; la solution pour deux charges est la somme des solutions. Toute la RDM repose dessus.
• Saint-Venant : loin du point d'application (à quelques dimensions de la section), seul compte le torseur de la charge, pas sa répartition. C'est ce qui autorise à remplacer une charge réelle par sa résultante et son moment.

Peu de problèmes ont une solution analytique. Ceux qui en ont sont les piliers du génie civil ; les autres se résolvent par éléments finis, qui ne font qu'appliquer numériquement ces quinze équations.

Barre en traction

Section \(A\), effort \(N\) : \(\sigma_{xx}=N/A\) uniforme, les autres composantes nulles. Vérifie l'équilibre et les conditions aux limites sur les faces latérales libres. Allongement \(\Delta L = NL/(EA)\), contraction du diamètre \(\Delta d/d = -\nu N/(EA)\).

Flexion pure d'une poutre

Poutre d'axe \(x\), moment \(M\) autour de \(z\) constant. Cherchons la solution où chaque section plane reste plane et tourne : \(u_x = -\kappa\,x\,y\), d'où \(\varepsilon_{xx}=-\kappa y\) (les fibres d'un côté s'allongent, de l'autre se raccourcissent, linéairement). Hooke en traction simple : \(\sigma_{xx}=-E\kappa y\), toutes les autres contraintes nulles. L'équilibre est vérifié ; sur la section, résultante nulle si \(y\) est compté depuis le centre de gravité, et moment \(M=\int -y\,\sigma_{xx}\,dA = E\kappa I\). D'où :

Les contractions de Poisson \(\varepsilon_{yy}=\varepsilon_{zz}=\nu\kappa y\) sont là, mais elles ne créent pas de contrainte : la section se déforme librement (anticlastique). Avec un effort tranchant \(T\), s'ajoute un cisaillement \(\sigma_{xy}\) qui n'est plus exact mais que Saint-Venant a résolu pour les sections courantes ; la RDM en retient \(\tau = T\,Q/(I\,b)\) (Jourawski).

Torsion d'un cylindre circulaire

Couple \(M_t\), sections qui tournent les unes par rapport aux autres de \(\alpha\) par unité de longueur sans gauchir (vrai seulement pour la section circulaire) : \(\gamma = \alpha r\), \(\tau = G\alpha r\), maximale sur la peau ; \(M_t = G\alpha J\) avec \(J=\pi d^4/32\). Une section non circulaire gauchit : la formule n'est plus valable, et une section ouverte mince (profilé en U, en I) est extrêmement souple en torsion.

En torsion pure, l'état de contrainte est un cisaillement pur : \(\sigma_1=\tau\), \(\sigma_2=-\tau\), à 45° de l'axe. Un matériau fragile (craie, fonte, béton) rompt donc en torsion selon une hélice à 45° — c'est la facette de \(\sigma_1\), pas celle de \(\tau_{max}\).

Tube épais sous pression (Lamé)

Tube de rayons \(a\) (intérieur) et \(b\) (extérieur), pressions \(p_a\) et \(p_b\). En coordonnées cylindriques, avec \(\sigma_{r\theta}=0\) par symétrie, l'équilibre \(d\sigma_r/dr + (\sigma_r-\sigma_\theta)/r=0\) et Hooke donnent :

Sous pression intérieure seule, \(\sigma_\theta\) est maximale sur la paroi intérieure et vaut \(p_a (b^2+a^2)/(b^2-a^2)\) — plus que \(p_a\) toujours, et bien plus que \(p_a a/e\) de la coque mince quand la paroi est épaisse. Conduites forcées, galeries sous pression, puits, buses enterrées sous un chargement radial : même solution.

Charge ponctuelle sur un massif semi-infini (Boussinesq)

Force verticale \(P\) appliquée en surface d'un demi-espace élastique. La contrainte verticale à la profondeur \(z\) et à la distance horizontale \(r\) du point d'application vaut :

Les isovaleurs de \(\sigma_z\) forment le bulbe des contraintes. Sous une charge répartie, on intègre Boussinesq : sous le centre d'une plaque circulaire souple de rayon \(a\) chargée à \(q\),

À \(z = 2a\) (un diamètre), \(\sigma_z\) ne vaut plus que 28 % de \(q\) ; à \(z=4a\), 9 %. C'est l'origine de la règle « le sol qui travaille sous une semelle occupe 1,5 B » et de la profondeur d'investigation des sondages.

Trou circulaire dans une plaque en traction (Kirsch)

Plaque infinie soumise à \(\sigma_\infty\) selon \(x\), percée d'un trou de rayon \(a\). Sur le bord du trou, la contrainte orthoradiale vaut \(\sigma_\theta = \sigma_\infty(1-2\cos2\theta)\) : elle atteint \(3\sigma_\infty\) aux deux points du diamètre perpendiculaire à la traction et \(-\sigma_\infty\) (compression) sur le diamètre parallèle. Le facteur de concentration de contrainte vaut 3, quel que soit le rayon du trou, et l'effet disparaît à trois ou quatre rayons du bord : encore Saint-Venant.

Trou d'homme dans une poutre-caisson, ouverture dans un voile, galerie dans un massif (où \(\sigma_\infty\) est la contrainte in situ, et le facteur 3 explique les écaillages en paroi), percement dans une plaque métallique : même mécanisme.

6 · Limite élastique et critères

Pourquoi un critère

L'essai de traction donne une limite \(\sigma_e\) pour un état de contrainte à une seule composante. Un état réel en a six. Un critère est une fonction scalaire \(f(\boldsymbol\sigma)\) qui ramène les six composantes à un seul nombre à comparer à la limite : \(f(\boldsymbol\sigma)\le\sigma_e\). Il doit être invariant par rotation, donc s'exprimer avec les contraintes principales ou les invariants. Chaque famille de matériaux a le sien.

Métaux : Tresca et von Mises

Les métaux plastifient par glissement : c'est le cisaillement qui compte, et la pression hydrostatique n'a aucun effet.

Tresca borne \(\tau_{max}\) à \(\sigma_e/2\) ; von Mises borne l'énergie de distorsion. En cisaillement pur, Tresca donne \(\tau_e=\sigma_e/2\), von Mises \(\tau_e=\sigma_e/\sqrt3 = 0{,}577\,\sigma_e\) — l'écart maximal entre les deux, 15 %. Les Eurocodes acier utilisent von Mises (\(\sigma_{eq}=\sqrt{\sigma^2+3\tau^2}\le f_y\) en contraintes planes avec cisaillement).

Béton, roche en traction : Rankine

Les matériaux fragiles rompent quand la plus grande contrainte principale atteint la résistance en traction : \(\sigma_1\le f_t\). Pour le béton, \(f_t\approx 0{,}1\,f_c\) : la fissuration se produit perpendiculairement à \(\sigma_1\). C'est ce que dessinent les bielles et tirants, et ce que les étriers reprennent dans une âme cisaillée.

Sols, béton en compression, roche : Mohr-Coulomb

La résistance au cisaillement croît avec la contrainte normale sur la facette de rupture :

Dans le plan de Mohr, la droite de Coulomb est l'enveloppe des cercles à la rupture : la rupture a lieu sur la facette inclinée de \(45°+\varphi/2\) sur la direction de \(\sigma_3\) (la direction de la contrainte principale mineure), et non sur la facette de \(\tau_{max}\). Avec \(\varphi=0\), on retrouve Tresca avec \(c=\sigma_e/2=c_u\) : c'est le comportement à court terme d'une argile saturée. Avec \(c=0\), on a un sable. Le béton en compression biaxiale et la roche suivent la même forme, avec une courbure (Hoek-Brown pour la roche).

7 · De la MMC à la RDM

Réduire le tenseur à un torseur

La RDM traite des solides élancés — poutres, barres, câbles — pour lesquels une dimension domine. Au lieu de chercher \(\boldsymbol\sigma\) en chaque point, elle intègre le vecteur contrainte \(\vec T(\vec x)=\boldsymbol\sigma\cdot\vec x\) sur la section et ne garde que sa résultante et son moment, le torseur des efforts intérieurs :

Trois équations d'équilibre de la MMC, intégrées sur la section, deviennent les relations de la RDM : \(dN/dx=-p_x\), \(dT/dx=-p_y\), \(dM/dx=T\). Six inconnues le long d'une ligne au lieu de six champs dans un volume : c'est tout le gain.

Les hypothèses qui permettent de remonter aux contraintes

Pour passer du torseur à la contrainte en un point de la section, la RDM admet :

• Navier-Bernoulli : les sections planes restent planes et normales à la fibre moyenne. En flexion pure, c'est exactement la solution de l'élasticité (ch. 5) ; avec effort tranchant, c'est une approximation d'autant meilleure que la poutre est élancée (\(L/h > 5\) à 10) ;
• Saint-Venant : loin des appuis et des charges concentrées, seul compte le torseur ;
• linéarité : Hooke et petites perturbations, d'où la superposition et le calcul des structures par sommation d'effets.

Ces contraintes sont des composantes du tenseur du chapitre 3. En un point de l'âme d'une poutre où règnent \(\sigma_{xx}\) et \(\tau_{xy}\), les contraintes principales se lisent sur le cercle de Mohr : \(\sigma_{1,2}=\sigma/2\pm\sqrt{\sigma^2/4+\tau^2}\), inclinées de \(\theta\) tel que \(\tan2\theta=2\tau/\sigma\). Dans le béton armé, les fissures d'effort tranchant suivent ces directions principales, à 45° au voisinage de l'axe neutre où \(\sigma_{xx}=0\).

Et vers les autres disciplines

8 · Énergie, travail et puissances virtuelles

Le travail se stocke : énergie de déformation

Le chapitre 4 a donné l'énergie par unité de volume, \(w=\tfrac12\boldsymbol\sigma:\boldsymbol\varepsilon\). Sur tout le solide, \(W=\int_V w\,dV\). Pour une poutre, où le tenseur se réduit au torseur, l'intégrale sur la section se fait une fois pour toutes :

En régime linéaire, les charges croissent de zéro à leur valeur finale en même temps que les déplacements : le travail extérieur est l'aire d'un triangle, pas d'un rectangle. C'est le théorème de Clapeyron :

Castigliano et Menabrea : dériver l'énergie

Si l'on sait écrire \(W\) en fonction des charges, le déplacement sous une charge est la dérivée de \(W\) par rapport à cette charge :

Menabrea dit qu'une structure hyperstatique choisit, parmi tous les systèmes d'efforts en équilibre, celui qui stocke le moins d'énergie. C'est ainsi qu'on calcule les réactions d'une poutre continue ou d'un portique sans écrire les équations de compatibilité.

Le principe des puissances virtuelles

Prenons un champ de déplacement virtuel \(\delta\vec u\) quelconque, nul sur les appuis. Multiplions les équations d'équilibre par \(\delta\vec u\) et intégrons sur le solide : après une intégration par parties,

Cette égalité est équivalente aux équations d'équilibre : un champ de contrainte qui la vérifie pour tous les \(\delta\vec u\) est en équilibre. Elle a deux usages immenses :

• la méthode des forces virtuelles (charge unité) de la RDM : pour trouver le déplacement en un point, on y applique une force virtuelle unité, qui crée un moment \(m(x)\), et le déplacement réel vaut \(\delta=\int M\,m/(EI)\,dx\) ;
• les éléments finis : on remplace « pour tout \(\delta\vec u\) » par « pour les fonctions de forme de chaque nœud », et l'intégrale devient le système \([K]\{U\}=\{F\}\). Toute la méthode tient dans cette ligne.

Un dernier résultat utile, le théorème de réciprocité de Maxwell-Betti : le déplacement en \(i\) dû à une force unité en \(j\) est égal au déplacement en \(j\) dû à une force unité en \(i\). D'où la symétrie de la matrice de raideur, et les lignes d'influence.

9 · Les fluides : la même mécanique

Suivre la matière ou regarder un point fixe

Dans un fluide, suivre chaque particule est impraticable : on décrit la vitesse \(\vec v(\vec x,t)\) en chaque point fixe de l'espace (description eulérienne, ch. 1). La variation d'une grandeur pour la particule qui passe en ce point combine la variation locale et le transport par l'écoulement :

La conservation de la masse s'écrit \(\partial\rho/\partial t+\mathrm{div}(\rho\vec v)=0\) ; pour un fluide incompressible, \(\mathrm{div}\,\vec v=0\) — ce qui entre d'un côté d'un tube de courant ressort de l'autre : c'est l'équation de continuité \(Q=vA=\) constante de l'hydraulique.

Taux de déformation et loi de Newton

Remplaçons le déplacement par la vitesse dans la formule du chapitre 2 : le tenseur des taux de déformation est \(\mathbf D=\tfrac12(\nabla\vec v+\nabla\vec v^{\mathsf T})\), en s⁻¹. Un fluide newtonien relie la contrainte à \(\mathbf D\) comme Hooke reliait \(\boldsymbol\sigma\) à \(\boldsymbol\varepsilon\) :

Au repos, \(\mathbf D=0\) : \(\boldsymbol\sigma=-p\,\mathbf I\). Le vecteur contrainte sur toute facette est \(-p\,\vec n\), purement normal : c'est le principe de Pascal, et le cercle de Mohr est réduit à un point. L'équilibre \(\mathrm{div}\,\boldsymbol\sigma+\rho\vec g=0\) donne alors \(-\nabla p+\rho\vec g=0\), soit \(p=\rho g z\) : l'hydrostatique est le \(\sigma_v=\gamma z\) du chapitre 3 avec \(K_0=1\).

Navier-Stokes : Navier avec des vitesses

Portons la loi de Newton dans l'équation du mouvement \(\rho\,D\vec v/Dt=\mathrm{div}\,\boldsymbol\sigma+\rho\vec g\) :

C'est l'équivalent de l'équation de Navier du chapitre 5, avec \(\mu\Delta\vec v\) à la place de \(\mu\Delta\vec u\). Sans viscosité (Euler), intégrée le long d'une ligne de courant en régime permanent, elle donne Bernoulli, \(p+\rho gz+\tfrac12\rho v^2=\) constante — l'équivalent de Clapeyron pour les fluides : la même énergie, comptée autrement. Avec viscosité dans une conduite, elle donne Poiseuille, puis, via l'expérience, Darcy-Weisbach. Tout cela est le cours de mécanique des fluides : mecaflu.ksr-infra.org.

10 · Compléments d'élasticité

Quatre outils que les livres de référence développent et que le génie civil utilise : les coordonnées cylindriques (tubes, pieux, pressiomètre), la fonction d'Airy (problèmes plans), le contact de Hertz (roue, rouleau, appui) et les ondes élastiques (sismique, géophysique).

Coordonnées cylindriques et expansion de cavité

Dès qu'il y a un axe — tube, pieu, forage, cheminée — on écrit les équations en \((r,\theta,z)\). Les déformations et l'équilibre deviennent :

Le terme \(u_r/r\) dans \(\varepsilon_{\theta\theta}\) dit qu'un cercle de rayon \(r\) qui gonfle de \(u_r\) voit son périmètre croître de \(2\pi u_r\), soit \(u_r/r\) en relatif — sans qu'aucun point ne se déplace tangentiellement. En axisymétrie (\(u_\theta=0\), rien ne dépend de \(\theta\) ni de \(z\)), l'équilibre et Hooke donnent \(u_r=Ar+B/r\) : c'est la solution de Lamé du chapitre 5, et c'est la même qui décrit l'expansion d'une cavité cylindrique dans un sol — le pressiomètre. Tant que le sol reste élastique, \(p-p_0=G\,\Delta V/V\) : la pente de la courbe pressiométrique mesure le module de cisaillement, d'où \(E_M=2(1+\nu)\,V\,dp/dV\) du chapitre 3 de fond. Quand le sol plastifie autour de la sonde, la pression tend vers la pression limite \(p_l\).

En sphériques, la cavité sous pression donne \(\sigma_r=A-B/r^3\), \(\sigma_\theta=A+B/(2r^3)\) : la contrainte décroît en \(1/r^3\) au lieu de \(1/r^2\), et c'est la solution de la pointe d'un pieu ou d'un cône de pénétromètre en première approximation.

La fonction d'Airy : tous les problèmes plans en une fonction

En contraintes planes ou déformations planes sans force de volume, posons \(\sigma_{xx}=\partial^2\phi/\partial y^2\), \(\sigma_{yy}=\partial^2\phi/\partial x^2\), \(\sigma_{xy}=-\partial^2\phi/\partial x\partial y\). Les deux équations d'équilibre sont alors automatiquement satisfaites, et la compatibilité impose une seule équation :

Résoudre un problème plan revient à trouver un \(\phi\) biharmonique qui respecte les conditions aux limites. Deux exemples qui comptent :

• La console chargée en bout (Timoshenko) : \(\phi=-\dfrac{P}{2I}\left(xy^3/3-h^2xy/4\right)\) donne \(\sigma_{xx}=-Pxy/I\) et \(\sigma_{xy}=-\dfrac{P}{2I}\left(\dfrac{h^2}{4}-y^2\right)\) : la flexion de la RDM et la parabole de Jourawski, exactes, sans hypothèse de Navier-Bernoulli. La RDM était une solution d'élasticité sans le savoir.
• Flamant : charge linéique \(P\) sur le bord d'un demi-plan, \(\phi=-(P/\pi)\,r\theta\sin\theta\), d'où \(\sigma_{rr}=-\dfrac{2P\cos\theta}{\pi r}\), \(\sigma_{\theta\theta}=\sigma_{r\theta}=0\) : la contrainte est purement radiale, et \(\sigma_z=2Pz^3/\pi R^4\) — c'est la formule du banc de Boussinesq en charge linéique, et l'origine de la solution de la bande uniforme sous un remblai ou une semelle filante.

Contact de Hertz

Deux solides courbes pressés l'un contre l'autre se touchent sur une petite surface où la pression est énorme : une roue sur un rail, un rouleau de compacteur sur une couche, une bille d'appui, un granulat contre un autre. Hertz (1882) a résolu le problème élastique :

La contrainte de cisaillement maximale n'est pas en surface mais à une profondeur de 0,5 à 0,8 fois \(a\) : c'est là que naissent l'écaillage des rails et des roulements, et c'est pour cela que les couches de roulement d'une chaussée sont dimensionnées en fatigue sous la roue plutôt qu'en pression de contact.

Les ondes élastiques

Ajoutons l'inertie à l'équation de Navier : \(\rho\,\ddot{\vec u}=(\lambda+\mu)\nabla(\mathrm{div}\,\vec u)+\mu\Delta\vec u\). Elle admet deux familles d'ondes planes, à deux vitesses :

L'onde P (primaire, de compression) fait vibrer la matière dans le sens de propagation ; l'onde S (secondaire, de cisaillement) perpendiculairement. P est toujours plus rapide — d'où son nom — et S n'existe pas dans les fluides (\(\mu=0\)). Dans un sol saturé, \(V_P\) est celle de l'eau (1 500 m/s) et ne dit rien du squelette ; \(V_S\) ne voit que le squelette : c'est pourquoi la classe de sol sismique (Eurocode 8) et la géophysique utilisent \(V_S\), et pourquoi \(G_0=\rho V_S^2\) est le module de cisaillement aux petites déformations du chapitre 2 de fond.

11 · Au-delà de l'élasticité linéaire isotrope

Le cours a supposé un matériau élastique, linéaire et isotrope, en petites perturbations. Chacun de ces quatre mots exclut quelque chose. Voici ce qu'il exclut, et dans quel cours on le retrouvera.

Isotrope — mais le bois, les roches et les sols ne le sont pas

Un matériau isotrope transverse (bois, roche stratifiée, sol déposé en couches, composite unidirectionnel) a un axe privilégié et demande cinq constantes au lieu de deux : \(E_\parallel\), \(E_\perp\), \(\nu_{\parallel\perp}\), \(\nu_\perp\), \(G_{\parallel\perp}\). Le bois est l'exemple le plus parlant : \(E\) vaut 10 000 à 15 000 MPa dans le sens du fil et 300 à 1 000 MPa en travers, un rapport de 15 à 30. Charger une poutre en bois en travers du fil, c'est charger un matériau trente fois plus souple et dix fois moins résistant. L'anisotropie la plus générale compte 21 constantes ; personne ne les mesure.

Élastique — mais l'acier plastifie et le sol s'ornière

Au-delà de la limite élastique, l'acier se déforme de façon permanente : décharger ne ramène pas à zéro, il reste une déformation plastique \(\varepsilon_p\). L'acier de construction a un palier (il coule à contrainte constante sur 1 à 2 % de déformation) puis s'écrouit ; c'est ce palier qui permet la redistribution des efforts dans une structure hyperstatique et le calcul plastique des portiques (rotules plastiques, \(M_p=f_y\,Z\)). Un sol ou une grave sous une roue accumule à chaque passage une déformation plastique infime ; au millionième passage, c'est l'orniérage. La plasticité se décrit par un seuil (ch. 6), une règle d'écoulement (dans quelle direction \(\varepsilon_p\) croît) et une règle d'écrouissage (comment le seuil bouge). Cours : calcul plastique des structures, mécanique des sols.

Linéaire et instantané — mais l'enrobé et le béton fluent

Un matériau viscoélastique répond à la contrainte avec un retard : sa déformation dépend du temps, et son module de la vitesse de chargement et de la température. L'enrobé bitumineux a un module de 15 000 MPa à 0 °C et 10 Hz (passage rapide d'un poids lourd par temps froid), et de 1 000 MPa à 40 °C et 0,1 Hz (camion arrêté au feu en été) : un facteur 15 pour le même matériau — c'est pourquoi le dimensionnement se fait à une température et une fréquence équivalentes, et pourquoi l'ornière se forme l'été au feu rouge. Le béton flue : sous charge constante, sa déformation double ou triple en quelques années, d'où les pertes de précontrainte et les flèches différées. Modèles : Maxwell (ressort + amortisseur en série), Kelvin-Voigt (en parallèle), Huet-Sayegh pour l'enrobé, Eurocode 2 pour le fluage du béton.

Continu — mais le béton fissure

Une fissure est une discontinuité : au-delà de Rankine, la MMC ne peut plus décrire ce qui se passe à sa pointe (la contrainte y tend vers l'infini). La mécanique de la rupture y substitue un facteur d'intensité de contrainte \(K_I=\sigma\sqrt{\pi a}\), comparé à la ténacité du matériau ; l'endommagement décrit, à l'échelle du continu, la dégradation progressive du module (\(E(1-d)\)). Le béton armé règle le problème autrement : il laisse fissurer et confie la traction à l'acier.

Petites perturbations — mais les poteaux flambent

Un poteau élancé comprimé se dérobe latéralement bien avant que \(\sigma\) n'atteigne \(f_y\) : c'est le flambement d'Euler, \(P_c=\pi^2EI/L_f^2\). Il n'est pas dans ce cours parce qu'il demande d'écrire l'équilibre dans la configuration déformée — ce que les petites perturbations interdisent. Même origine pour le déversement des poutres, le voilement des âmes, les grands déplacements des câbles et des membranes. Cours : stabilité des structures.

Formulaire

Toutes les formules du cours sur une page, à imprimer : formulaire.html.

Pour approfondir

• J. Salençon, Mécanique des milieux continus, 3 tomes, Éditions de l'École polytechnique — la référence française, complète et rigoureuse.
• J. Coirier, C. Nadot-Martin, Mécanique des milieux continus, Dunod — cours et exercices corrigés, niveau école d'ingénieurs.
• S. Timoshenko, J. N. Goodier, Theory of Elasticity, McGraw-Hill — toutes les solutions classiques du chapitre 5 (Lamé, Boussinesq, Kirsch, Saint-Venant).
• J. Lemaitre, J.-L. Chaboche, Mécanique des matériaux solides, Dunod — pour aller au-delà de l'élasticité : plasticité, viscoélasticité, endommagement.