Les questions qu'on n'ose pas poser

Une grandeur physique qui a besoin de plusieurs nombres et d'un repère pour être décrite, et dont les nombres changent de façon prévisible quand on change de repère. Un scalaire (température) est un tenseur à un nombre ; un vecteur (force) en a trois ; la contrainte et la déformation en ont six. Le mot fait peur ; l'objet est une matrice 3×3 symétrique, rien de plus. Boîte à outils.

Le déplacement dit de combien un point a bougé (en mm). La déformation dit de combien la matière s'est étirée ou tordue autour d'un point (sans unité). La contrainte dit avec quelle intensité la matière se tire ou se pousse elle-même (en MPa). Une poutre qui fléchit : ses points se déplacent de quelques mm, ses fibres se déforment de quelques dixièmes de ‰, et ses contraintes atteignent quelques dizaines de MPa. Trois mots, trois unités, trois chapitres.

Une pression est un cas particulier de contrainte : la même dans toutes les directions, toujours en compression, jamais de glissement — c'est ce qu'exerce un fluide au repos, et son tenseur est \(-p\,\mathbf I\). Dans un solide, la contrainte peut en plus tirer, être différente selon les directions, et cisailler. C'est pour cela qu'il faut six nombres au lieu d'un. Ch. 3.

Parce qu'il faut deux informations : sur quelle face et dans quelle direction. \(\sigma_{xy}\) est la force par unité d'aire qui agit selon x sur la face dont la normale est y. Pour la déformation, \(\varepsilon_{xy}\) mélange de la même façon les directions \(x\) et \(y\). L'ordre des deux indices n'a pas d'importance (symétrie), ce qui aide.

Que les déplacements sont petits devant les dimensions du solide et que les déformations sont petites devant 1 (typiquement moins de 1 %). On peut alors confondre la géométrie avant et après chargement, additionner les effets, et écrire \(\varepsilon\) comme une simple dérivée du déplacement. C'est vrai pour presque tout le génie civil ; c'est faux pour un câble qui change de forme, une membrane, un caoutchouc, un sol qui s'effondre.

Parce que \(\gamma\) mesure la fermeture de l'angle droit, qui vient de deux rotations (celle du segment \(x\) et celle du segment \(y\)), tandis que \(\varepsilon_{xy}\) doit se transformer comme une composante de tenseur — ce qui impose la demi-somme. Les ingénieurs, avant les tenseurs, ont défini \(\gamma\) ; les mathématiciens ont ensuite exigé la moitié pour que le cercle de Mohr et les formules de rotation marchent. On garde les deux : \(\gamma\) dans les essais, \(\varepsilon_{xy}\) dans les équations. Ch. 2.

Non. La rotation \(\omega\) fait partie du gradient de déplacement mais pas de la déformation : les longueurs et les angles ne changent pas. Le banc « le carré qui se déforme » le montre : avec \(\partial u_x/\partial y=-\partial u_y/\partial x\), le carré tourne et reste carré. C'est pour cela qu'on prend la partie symétrique du gradient. Banc 1.

Avec une jauge collée (un fil dont la résistance électrique change quand il s'allonge), une rosette de trois jauges pour avoir les trois composantes planes, un extensomètre sur une éprouvette, ou par corrélation d'images (deux photos avant/après). On ne mesure jamais une contrainte directement : on mesure une déformation et on passe par Hooke. Ch. 2.

Parce que couper un solide, c'est choisir une surface, et la force qui traverse cette surface dépend de son orientation. Un poteau comprimé verticalement : une coupe horizontale ne voit que de la compression ; une coupe à 45° voit de la compression et du glissement, moitié-moitié ; une coupe verticale ne voit rien. Le tenseur contient toutes les coupes à la fois ; \(\vec T=\boldsymbol\sigma\cdot\vec n\) en extrait une. Ch. 3.

Parce qu'un petit cube ne doit pas se mettre à tourner tout seul. Le cisaillement sur ses faces verticales forme un couple ; celui sur ses faces horizontales forme le couple inverse ; l'équilibre des moments impose qu'ils soient égaux. Un cisaillement n'existe jamais sans son jumeau sur la face perpendiculaire — c'est aussi pour cela que les cadres d'une poutre travaillent.

De la trigonométrie : la contrainte normale sur une facette tournée de \(\theta\) contient des \(\cos^2\theta\) et \(\sin\theta\cos\theta\), qui se réécrivent en \(\cos2\theta\) et \(\sin2\theta\). Physiquement : deux facettes perpendiculaires (à 90° l'une de l'autre) portent des contraintes « opposées » (l'une \(\sigma_1\), l'autre \(\sigma_2\)), donc elles sont à 180° sur le cercle. Le cercle compte les angles en double. Banc 2.

À comparer un état de contrainte compliqué à un essai simple. L'acier a été testé en traction ; le béton en compression ; le sol au triaxial. Pour savoir si un point de la structure tient, on cherche les trois directions où tout se résume à des tractions ou compressions pures, puis on compare. Et pour le béton, la direction de \(\sigma_1\) donne directement la direction de la fissure. Ch. 6.

Parce qu'un sol ne travaille qu'en compression : compter positif ce qui existe évite d'écrire des moins partout. La mécanique des solides compte la traction positive parce que l'essai de référence est la traction. Les formules sont les mêmes ; seuls les signes des entrées changent, et le cercle de Mohr se lit en miroir. Il faut toujours dire quelle convention on utilise.

Parce qu'à \(\nu=0{,}5\) le matériau ne change plus de volume quand on le comprime (\(K\to\infty\)), et au-delà il gonflerait sous une pression, ce qu'aucun matériau stable ne fait. L'eau, le caoutchouc, une argile saturée chargée vite sont proches de 0,5. Le béton vaut 0,2, l'acier 0,3, le liège presque 0.

Oui, par ses unités : \(E=\sigma/\varepsilon\) et \(\varepsilon\) n'a pas d'unité. 210 000 MPa pour l'acier, c'est la contrainte qu'il faudrait pour l'allonger de 100 % si rien ne cassait — ce qui n'arrive jamais, puisqu'il plastifie à 0,1 %. Il faut lire \(E\) comme une pente, pas comme une résistance : un béton de 30 000 MPa de module casse à 30 MPa.

Parce que la dilatation thermique est une déformation « gratuite » : la matière prend plus de place sans que rien ne la pousse. La contrainte n'apparaît que quand on l'empêche de prendre cette place — alors \(\sigma=-E\alpha\Delta T\), quelle que soit la longueur de la barre. C'est pour cela que les rails sont soudés avec une contrainte initiale et que les ponts ont des joints. Ch. 4.

Parce qu'ils ne cassent pas de la même manière. L'acier plastifie en faisant glisser ses plans cristallins : la résistance est la même partout, quelle que soit la pression. Un sol est un tas de grains qui frottent : plus on les serre, plus ils résistent au glissement — d'où \(\tan\varphi\) — et s'ils sont collés (argile), il y a en plus une cohésion \(c\). La résistance d'un sol n'est pas un nombre, c'est une droite. Ch. 6.

Oui, parce que la MMC est un langage, et qu'on apprend un langage avant d'avoir quelque chose à dire. Ce que vous dites avec ce langage viendra au chapitre 7 et dans les cours suivants : la poutre, le béton armé, le sol sous la semelle, la chaussée sous la roue. Chaque « exemple guidé » du cours montre un objet réel ; les boîtes « vers … » montrent où la formule sera réutilisée. Si une formule n'a aucune boîte, elle peut attendre.

1. \(\vec T=\boldsymbol\sigma\cdot\vec n\) et le cercle de Mohr : savoir trouver les contraintes principales et \(\tau_{max}\).
2. Hooke en traction : \(\varepsilon=\sigma/E\), contraction \(-\nu\varepsilon\), cisaillement \(\gamma=\tau/G\).
3. Que chaque matériau a son critère : Tresca/von Mises pour l'acier, \(\sigma_1\le f_t\) pour le béton, Coulomb pour le sol.

Avec ces trois idées, tout le reste se reconstruit.

Non. Un logiciel d'éléments finis résout exactement les quinze équations du chapitre 5, en découpant le solide en petits morceaux et en imposant l'équilibre et Hooke dans chacun. Ce qu'il affiche en couleurs — \(\sigma_{xx}\), von Mises, déplacements — sont les objets de ce cours. Quelqu'un qui ne les comprend pas ne peut pas savoir si le résultat est faux ; et il l'est souvent.

Parce que, quand on charge progressivement, la force n'est pas pleine dès le début : elle croît de 0 à F pendant que le point se déplace de 0 à u. Le travail est l'aire sous la courbe force-déplacement, un triangle : ½Fu. Si l'on posait brutalement la charge pleine, le travail serait Fu, deux fois plus, et l'excédent ferait vibrer la structure — c'est le facteur 2 des charges appliquées instantanément. Ch. 8.

Non, c'est le théorème de l'énergie appliqué intelligemment : si l'on sait écrire l'énergie stockée en fonction des charges, la dérivée par rapport à une charge donne le déplacement sous cette charge. On évite d'intégrer deux fois la courbure et de gérer les constantes. La « triche » n'en est pas une parce que l'énergie contient déjà toute l'information : équilibre, Hooke et géométrie. Ch. 8.

Oui pour la cinématique, l'équilibre et le tenseur des contraintes ; non pour la loi de comportement. Le solide relie la contrainte à la déformation (combien on a bougé), le fluide à la vitesse de déformation (à quelle vitesse on bouge). D'où le fait qu'un fluide au repos ne porte aucun cisaillement, et que la pression y est la même dans toutes les directions. Tout le reste — Navier et Navier-Stokes, Clapeyron et Bernoulli — se correspond terme à terme. Ch. 9.